Математичекий маятник

Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела. В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол φ появляется касательная составляющая силы тяжести Fτ = –mg sin φ (рис. 2.3.1). Знак «минус» в этой формуле означает, что касательная составляющая направлена в сторону, противоположную отклонению маятника.

1

Рисунок 2.3.1. Математический маятник. φ – угловое отклонение маятника от положения равновесия, x = lφ – смещение маятника по дуге.

Если обозначить через x линейное смещение маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса l, то его угловое смещение будет равно φ = x / l. Второй закон Ньютона, записанный для проекций векторов ускорения и силы на направление касательной, дает:
  Это соотношение показывает, что математический маятник представляет собой сложную нелинейную систему, так как сила, стремящаяся вернуть маятник в положение равновесия, пропорциональна не смещению x, а Только в случае малых колебаний, когда приближенно можно заменить на математический маятник является гармоническим осциллятором, то есть системой, способной совершать гармонические колебания. Практически такое приближение справедливо для углов порядка 15–20°; при этом величина отличается от не более чем на 2 %. Колебания маятника при больших амплитудах не являются гармоническими. Для малых колебаний математического маятника второй закон Ньютона записывается в виде
  Таким образом, тангенциальное ускорение aτ маятника пропорционально его смещению x, взятому с обратным знаком. Это как раз то условие, при котором система является гармоническим осциллятором. По общему правилу для всех систем, способных совершать свободные гармонические колебания, модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением из положения равновесия равен квадрату круговой частоты:
  Эта формула выражает собственную частоту малых колебаний математического маятника. Следовательно,
  Любое тело, насаженное на горизонтальную ось вращения, способно совершать в поле тяготения свободные колебания и, следовательно, также является маятником. Такой маятник принято называть физическим (рис. 2.3.2). Он отличается от математического только распределением масс. В положении устойчивого равновесия центр масс C физического маятника находится ниже оси вращения O на вертикали, проходящей через ось. При отклонении маятника на угол φ возникает момент силы тяжести, стремящийся возвратить маятник в положение равновесия:

M = –(mg sin φ)d.

  Здесь d – расстояние между осью вращения и центром масс C.

2

Рисунок 2.3.2. Физический маятник.

Знак «минус» в этой формуле, как обычно, означает, что момент сил стремится повернуть маятник в направлении, противоположном его отклонению из положения равновесия. Как и в случае математического маятника, возвращающий момент M пропорционален sin φ. Это означает, что только при малых углах φ, когда sin φ ≈ φ, физический маятник способен совершать свободные гармонические колебания. В случае малых колебаний

M = –mgdφ.

и второй закон Ньютона для физического маятника принимает вид (см. §1.23)

Iε = M = –mgdφ.

где ε – угловое ускорение маятника, I – момент инерции маятника относительно оси вращения O. Модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением равен квадрату круговой частоты:
  Здесь ω0 – собственная частота малых колебаний физического маятника. Следовательно,
  Более строгий вывод формул для ω0 и T можно сделать, если принять во внимание математическую связь между угловым ускорением и угловым смещением: угловое ускорение ε есть вторая производная углового смещения φ по времени:
  Поэтому уравнение, выражающее второй закон Ньютона для физического маятника, можно записать в виде
  Это уравнение свободных гармонических колебаний (см. уравнение (*) §2.2). Коэффициент в этом уравнении имеет смысл квадрата круговой частоты свободных гармонических колебаний физического маятника. По теореме о параллельном переносе оси вращения (теорема Штейнера, §1.23) момент инерции I можно выразить через момент инерции IC относительно оси, проходящей через центр масс C маятника и параллельной оси вращения:

I = IC + md2.

  Окончательно для круговой частоты ω0 свободных колебаний физического маятника получается выражение:

Математичекий маятник

Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела. В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол φ появляется касательная составляющая силы тяжести Fτ = –mg sin φ (рис. 2.3.1). Знак «минус» в этой формуле означает, что касательная составляющая направлена в сторону, противоположную отклонению маятника.

1

Рисунок 2.3.1. Математический маятник. φ – угловое отклонение маятника от положения равновесия, x = lφ – смещение маятника по дуге.

Если обозначить через x линейное смещение маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса l, то его угловое смещение будет равно φ = x / l. Второй закон Ньютона, записанный для проекций векторов ускорения и силы на направление касательной, дает:
  Это соотношение показывает, что математический маятник представляет собой сложную нелинейную систему, так как сила, стремящаяся вернуть маятник в положение равновесия, пропорциональна не смещению x, а Только в случае малых колебаний, когда приближенно можно заменить на математический маятник является гармоническим осциллятором, то есть системой, способной совершать гармонические колебания. Практически такое приближение справедливо для углов порядка 15–20°; при этом величина отличается от не более чем на 2 %. Колебания маятника при больших амплитудах не являются гармоническими. Для малых колебаний математического маятника второй закон Ньютона записывается в виде
  Таким образом, тангенциальное ускорение aτ маятника пропорционально его смещению x, взятому с обратным знаком. Это как раз то условие, при котором система является гармоническим осциллятором. По общему правилу для всех систем, способных совершать свободные гармонические колебания, модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением из положения равновесия равен квадрату круговой частоты:
  Эта формула выражает собственную частоту малых колебаний математического маятника. Следовательно,
  Любое тело, насаженное на горизонтальную ось вращения, способно совершать в поле тяготения свободные колебания и, следовательно, также является маятником. Такой маятник принято называть физическим (рис. 2.3.2). Он отличается от математического только распределением масс. В положении устойчивого равновесия центр масс C физического маятника находится ниже оси вращения O на вертикали, проходящей через ось. При отклонении маятника на угол φ возникает момент силы тяжести, стремящийся возвратить маятник в положение равновесия:

M = –(mg sin φ)d.

  Здесь d – расстояние между осью вращения и центром масс C.

2

Рисунок 2.3.2. Физический маятник.

Знак «минус» в этой формуле, как обычно, означает, что момент сил стремится повернуть маятник в направлении, противоположном его отклонению из положения равновесия. Как и в случае математического маятника, возвращающий момент M пропорционален sin φ. Это означает, что только при малых углах φ, когда sin φ ≈ φ, физический маятник способен совершать свободные гармонические колебания. В случае малых колебаний

M = –mgdφ.

и второй закон Ньютона для физического маятника принимает вид (см. §1.23)

Iε = M = –mgdφ.

где ε – угловое ускорение маятника, I – момент инерции маятника относительно оси вращения O. Модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением равен квадрату круговой частоты:
  Здесь ω0 – собственная частота малых колебаний физического маятника. Следовательно,
  Более строгий вывод формул для ω0 и T можно сделать, если принять во внимание математическую связь между угловым ускорением и угловым смещением: угловое ускорение ε есть вторая производная углового смещения φ по времени:
  Поэтому уравнение, выражающее второй закон Ньютона для физического маятника, можно записать в виде
  Это уравнение свободных гармонических колебаний (см. уравнение (*) §2.2). Коэффициент в этом уравнении имеет смысл квадрата круговой частоты свободных гармонических колебаний физического маятника. По теореме о параллельном переносе оси вращения (теорема Штейнера, §1.23) момент инерции I можно выразить через момент инерции IC относительно оси, проходящей через центр масс C маятника и параллельной оси вращения:

I = IC + md2.

  Окончательно для круговой частоты ω0 свободных колебаний физического маятника получается выражение:

Задачи для самостоятельного решения

Презентация

Квантовая жизнь

доктор Квантум и загадка квантовой физики

Тесты

http://physics.nad.ru/task.html

интересно

"Мы вращаем кубик, а кубик скручивает нас" - Эрнё Рубик.

Страница 1 , 2

Широко распространенная ныне механическая головоломка "Кубик-рубик" называлась сначала "волшебным" или "магическим кубиком", а в Китае его и сейчас называют "венгерским кубиком".

Кубик Рубика был изобретен и запатентован в 70-х годах 20 века венгерским скульптором, профессором архитектуры и изобретателем Эрнё Рубиком, который приобрел всемирную известность благодаря своим игрушкам-головоломкам.

  Эрно  Рубик преподавал  промышленный дизайн и архитектуру,  увлекался  трёхмерным предметным моделированием. Пытаясь объяснить   студентам основные понятия,  придумал наглядное пособие, которое вначале выглядело несколько иначе. Идея и воплощения претерпевали изменения, а  в результате  мир получил оригинальную игру «кубик–рубик».

Похожие головоломки, кстати, были известны еще до появления кубика Рубика. В 1958 году похожее по замыслу изобретение запатентовал Вильям Густафсон, а в начале 70-х - свои изобретения предъявили англичанин Фрэнк Фок и американец Лари Николс.
Эрнё Рубик смог запатентовать свое изобретение лишь в начале 1975 года, а его авторские права были подтверждены в 1977 году.

Игра в кубик Рубика захватила всех от мала до велика.
Подсчитано, что по всему миру было продано около 350 млн кубиков Рубика, и если их поставить в ряд, то они протянутся почти от Северного до Южного полюса Земли.

Традиционный кубик-рубик (3х3х3, т.е. с длиной стороны квадрата в 3 маленьких кубика) состоит из 26 маленьких кубиков, которые могут вращаться вокруг невидимых снаружи осей. Каждый из девяти квадратов на каждой стороне кубика окрашен в один из шести цветов, как правило расположенных парами друг напротив друга: белый-жёлтый, синий-зелёный, красный-оранжевый. Повороты сторон кубика позволяют менять местами цветные квадраты.

В чем суть игры?
Изначально цветовые квадратики "перепутаны". Необходимо, поворачивая стороны куба, привести его в такое состояние, когда каждая грань состоит из квадратов одного цвета. Это и означает "собрать кубик Рубика".
Но совсем не обязательно складывать одноцветные грани, можно заниматься выстраиванием на них геометрических узоров: "крестов", "окошек" и др..

Сборка кубика Рубика - адача не из самых легких!
Подсчитано, что число возможных цветовых комбинаций внешних сторон кубика Рубика составляет 43 252 003 274 489 856 000.
Для простой игрушки кубик Рубика слишком сложен.
В 80-х годах прошлого века этот кубик называли даже "Гордиевым узлом".
К сожалению, большинство владельцев игрушки так никогда и не смогло самостоятельно сложить кубик.

Английский профессор  Д. Сингмайстер считает, что человек, не  знающий правил сборки кубика, но умеющий  логически мыслить, может  собрать кубик Рубика за две недели, если, конечно, не будет прохлаждаться.
А вот программисты с помощью специальной компьютерной программы  доказали, что из любой начальной конфигурации кубик можно собрать за 25 ходов.

В 1981 году была издана книга 12-летнего П. Боссерта "You can do The Cube" о правилах сборки кубика-рубика , ставшая бестселлером. Было распродано более полутора миллионов экземпляров на разных языках. А в 1990 году в России вышла книга, описывающая алгоритм сборки сколько угодно слойного кубика-рубика.

В годы повального увлечения кубиком Бубика эта забава стала частой причиной психических расстройств. Невозможность справиться с решением этой головоломки приводила к неврозам и приступам агрессии.
Известен случай, когда дрессированным обезьянам дали эти кубики и показали, что с ними надо делать. Через какое-то время обезъяны, в отчаянии от невозможности повторить показанное, стали проявлять раздражение. В результате одна из обезьян запустила этим кубиком в стену, другая попыталась его съесть, а третья просто разломала его.
Теперь понятно, почему некоторые фирмы продавали кубик Рубика в комплекте с молотком. После бесплодных попыток собрать кубик Рубика некоторым неуравновешенным игрокам хотелось "рвать и метать...", "рвать и метать" ...

Устройство кубика-рубика
Кубик Рубика состоит из 26 маленьких кубиков и креста, скрытого внутри него.
Основа куба — крест, к тонким осям которого прикреплены на винтах 6 центральных кубиков.
26 кубиков   назвать кубиками можно лишь условно, все они имеют разные  выемки и шипы. 
Шесть центральных кубиков   находятся в центре граней большого куба. Они окрашены  только с одной стороны, с которой видны. Все центральные кубики связаны между собой тремя осями, и каждая пара противоположных центральных кубиков может вращаться только вокруг одной своей оси.
Восемь маленьких  угловых кубиков  находятся  на углах большого куба   и  окрашены с трех сторон.   Остальные двенадцать маленьких  «бортовых» кубиков расположены  на середине ребер большого куба,  их тоже достаточно окрасить только с двух видимых сторон.   

С внутренних сторон центральные, средние и угловые кубики имеют различные вырезы.

Центральные кубики крепятся на внутреннем кресте. Пружинка, одетая на тонкий конец креста, позволяет оттягивать при повороте поворачиваемый слой кубиков.

Так выглядит внутренняя сторона грани куба, снятой с креста.

Вид кубика, с которого сняты одна грань и один средний кубик.

Расположение  маленьких кубиков основаны на строгом порядке. Как ни верти,  угловые кубики всегда останутся угловыми, бортовые - бортовыми, а центральные - центральными. Это иногда  называют «основной теоремой кубологии».
Центральные кубики вообще невозможно сдвинуть с места, поэтому они определяют исходный цвет соответствующей грани.   Если на данной стороне центральный кубик  красный, значит, это  будущая красная  грань.  Именно она будет красной, когда вы правидьно составите кубик.

А знаете как просто, оказывается, разбирается кубик Рубика?
Надо отклеить цветную наклейку с какого-нибудь центрального кубика и, подцепив чем-нибудь острым находящуюся под ней плоскую крышечку , снять её. Отвинчиваем гаечку, вынимаем пружинку, снимаем центральный кубик с креста, а дальше уже просто ...

Продолжение: ст

Добро пожаловать

Этот блог для учеников 7-11 классов.